Diciembre

Clase N:12 

Derivadas Parciales

Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales:
 

La derivada respecto a X representa el aumento en el eje de las absisas(+)

La derivada respecto al Y representa el aumento en el eje de las ordenadas(-)

(Una definición obvia si la comparamos con la derivada de una función de una variable)
Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante.

Interpretación de las Derivadas Parciales

Si la función es de dos variables, la noción de derivada parcial se puede interpretar geométricamente. Las derivadas parciales de una función f en el punto (a, b) no son más que derivadas de una función de una variable: la función cuya gráfica se obtiene como intersección de la superficie con los planos verticales x=a, y=b, en los casos de derivada parcial en la dirección del eje Y en la dirección del eje X, respectivamente.


                       


Derivación de Funciones Implícitas

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

Este metodo no se lo aplica generalmente porque se tiende a cometer errores que afectan el producto final.

Notación.-

Termodinámica.-

Ejemplo

Clase N:13

Regla de la Cadena

 la regla de la cadena se utiliza cuando una función que puede entra en 2 o 3 variables independientes tal como f(x,y,z) es dependiente de otra función g de igual o menor campo g(r,s,t); f(g(r,s,t))

.-.-.-.-.Aqui les dejo un video para aclarar las dudas acerca del método de aplicación en un ejercicio simple 

2.- Derivadas direccionales

Este método de aplicación  se usa generalmente para obtener el valor maxino y minimo en el cual la función crece en un solo eje 

 

.-.-.-.-.Aqui les dejo un video para aclarar las dudas acerca del método de aplicación en un ejercicio simple 

 

Clase N:14

Planos tangentes y aproximaciones lineales

Plano Tangente

Sea f con derivadas parciales continuas. Una ecuación del plano tangente a la superficie z=f(x,y) en el punto P(a,b,c) es:

Ecuación del plano tangente en P(a,b,c)

Aproximación Lineal

Sea f con derivadas parciales continuas. La aproximación lineal de z=f(x,y) en el punto P(a,b,c) es:

es decir la aproximación lineal es una función lineal cuyo gráfico es el plano tangente.

.-.-.-.Aqui les dejo un video para aclarar las dudas acerca del método de aplicación en un ejercicio simple 

 

Ejercicio de aplicación para una aproximación lineal

3.- Diferenciables E Incrementos de funcion

Para funciones de una variable y=f(x) , se define el incremento de y como:

y la diferencial de y como:

Δy representa el cambio en la altura de la curva y=f(x) y dy representa la variación de y a lo largo de la recta tangente cuando x varia en una cantidad dx=Δx

En la siguiente figura se muestra df y Δf

Δy - dy se aproxima a cero mas rápidamente que Δx, ya que

y al hacer que Δx→0, tenemos que  Ɛ→0. Entonces:

donde Ɛ→0 conforme Δx→0.